MATEMATICA I M - Z

Anno accademico 2021/2022 - 1° anno
Docente: Raffaela Giovanna CILIA
Crediti: 9
SSD: MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 147 di studio individuale, 42 di lezione frontale, 36 di esercitazione
Semestre:

Obiettivi formativi

I principali obiettivi di questo insegnamento sono:

1) abituare lo studente al rigore logico, che negli studi scientifici riveste un'importanza fondamentale.

2) mettere lo studente in grado di conoscere i principali oggetti della Matematica e comprendere in che modo essi possano intervenire nello studio di altre discipline.

Più in dettaglio, gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti matematici: fra questi, limiti e derivate per le funzioni di una variabile, serie numeriche, elementi di Algebra lineare e geometria analitica nel piano.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza della Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali. Lo studente apprenderà le principali tecniche e basilari metodi dimostrativi e sarà invitato ad applicarli per la risoluzione di semplici problemi simili a quelli affrontati a lezione dal docente.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente sarà abituato a riflettere sulle dimostrazioni fatte in classe o sulle tecniche seguite per la risoluzione di alcuni esercizi per affinare le capacità logiche e lo spirito critico. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per renderle più fruibili a quegli studenti che sono meno attratti dalla Matematica, pur mantenendo il giusto rigore logico.

Abilità comunicative (communication skills): studiando la Matematica, mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate, grazie anche alle ore di ricevimento, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà ad utilizzare un linguaggio corretto sintetico preciso e puntuale.

Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Le lezioni si svolgeranno in maniera tradizionale con lezioni frontali durante le quali saranno svolti, a supporto della parte teorica, molti esercizi. Saranno assegnati esercizi per casa e poi gli studenti saranno invitati a illustrare le loro soluzioni. Ampio spazio sarà dedicato alle ore di ricevimento durante le quali lo studente potrà chiarire i dubbi sia sulla parte teorica, sia sulla parte tecnica e potrà inoltre essere guidato nel metodo di studio.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

I prerequisiti sono quelli richiesti per l'iscrizione al Corso di laurea. E' fondamentale una buona predisposizione al ragionamento logico.


Frequenza lezioni

obbligatoria


Contenuti del corso

Il programma dettagliato sarà pubblicato alla fine del corso. Sul portale Studium sarà possibile seguire quotidianamente il diario delle lezioni. Gli argomenti trattati sono:

Algebra lineare: Matrici , determinante, rango , autovalori ed autovettori. Sistemi di equazioni lineari.

Elementi di calcolo vettoriale.

Geometria analitica nel piano : rappresentazione di una retta. Condizione di parallelismo e di ortogonalità tra due rette. Distanza punto -retta

Generalità sugli insiemi numerici: numeri naturali, numeri interi, numeri razionali ed irrazionali. Proprietà fondamentali dell'insieme dei numeri reali. Elementi di topologia in R e in R^2. Piano cartesiano. Sistema polare. Estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme. Numeri complessi.

Successioni di numeri reali.

Serie numeriche: definizione, serie a termini positivi con criteri per la ricerca del carattere. Serie a segno alterno e teorema di Leibnitz. Assoluta convergenza di una serie.

Funzioni reali di variabile reale e loro limiti. Continuità e sequenziale continuità. Invertibilità di una funzione. Monotonia. Relazione tra monotonia invertibilità e continuità. Funzioni elementari: potenza con esponente reale, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche. Funzioni iperboliche. Funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Funzioni composte.

Calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale e sue applicazioni : derivabilità regole di derivazione. Significato geometrico e fisico della derivabilità. Derivabilità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. . Classificazione dei punti di non derivabilità. Estremi realtivi ed assoluti. Teorema di Fermat, Rolle e Lagrange ed applicazioni. Studio della monotonia. Convessità e concavità. Punti di flessi. Grafico di una funzione. Formula di Taylor ed applicazioni.

Si fa presente che tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti ( ad esempio se di un teorema è omessa la dimostrazione ) basterà seguire il diario delle lezioni pubblicato quotidianamente su Studium. Si ricorda comunque che la frequenza delle lezioni e la partecipazione attiva ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.


Testi di riferimento

1) Giovanni Emmanuele Analisi Matematica I Pitagora editore

2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica - calcolo infinitesimale e algebra lineare, ed. Zanichelli

3) S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica 1, ed. Zanichelli

4) Cento pagine di algebra lineare.

5)Cento pagine di geometria analitica nel piano



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Insiemi numerici 1 capitolo 1 e capitolo 2 
2Successioni numeriche 1 capitolo 3 
3Serie numeriche 1 capitolo 4 
4Funzioni di un vaiabile e calcolo infinitesimale1 capitolo 5 
5Calcolo differenziale 1 capitolo 6 
6Algebra lineare e sistemi lineari
7Geometria analitica nel piano

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta consiste in esercizi tecnici e domande di teoria. Agli inizi di dicembre si terrà una prova in itinere non obbligatoria sulla parte di programma già svolta con la stessa modalità della prova finale. Chi supera la prova in itinere svolgerà l'esame finale solo sulla seconda parte del programma. Le date degli esami saranno sul sito del corso d laurea. Occorre effettuare la prenotazione sul portale studenti. Le prenotazioni sono possibili fina a due giorni prima dell'appello.

 

La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Si vedano su Studium esercizi e compiti di esame degli anni precedenti. Durante la prova orale lo studente deve mostrare di sapere e di aver capito tutte le definizioni. Deve essere in grado di ripetere una dimostrazione ( svolta in classe) mostrando di aver capito il ruolo fondamentale delle ipotesi. A tal scopo potranno essere chiesti esempi e contro-esempi. Esempio di domanda: Teorema di Weierstrass. Ovviamente lo studente deve dire innanzitutto l'enunciato del Teorema sottolineando le ipotesi e la tesi. Prima della dimostrazione del teorema, sarà chiesto il significato di tutte le ipotesi e cosa succede se una delle ipotesi viene a mancare. Lo studente risponderà illustrando dei contro-esempi che possono essere gli stessi svolti in classe o altri da lui elaborati durante lo studio.