MATEMATICA II 1

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni e serie di funzioni, il calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali, gli integrali doppi e le equazioni differenziali ordinarie.

• Capacità di applicare e comprendere: attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

• Autonomia di giudizio: lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le proprie capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

• Abilità comunicative: studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza argomenti di natura scientifica, non solo in ambito matematico.

• Capacità di apprendimento: gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

L'insegnamento è diviso in due parti:

A) Analisi Matematica

B) Analisi Numerica

Per quanto riguarda la parte A, il programma prevede i seguenti punti:

• Successioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, vari tipi di convergenza per serie di funzioni, serie di potenze, serie di Taylor, serie di Fourier.

• Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: limite e continuità, derivate direzionali e gradiente, funzioni di classe C1, teorema di Fermat, derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz, matrice Hessiana, richiami sulle forme quadratiche, formula di Taylor, condizione sufficiente per un estremo.

• Integrali doppi: area di un insieme piano, formule di riduzione, formula di cambiamento di variabili. Applicazioni: baricentro, momento d’inerzia.

• Equazioni differenziali ordinarie: generalità, problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità locale, equazioni a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine. Applicazioni: modello di Malthus e oscillatore armonico.

Per quanto riguarda la parte B, il programma prevede i seguenti punti:

• Introduzione a Matlab: definizione dei comandi di base, cicli for, cicli while e applicazioni. Esempi di function.

• Successioni e serie di funzioni: applicazione del criterio di Cauchy per la convergenza, esempi di serie geometrica, serie armonica, serie di Mengoli; serie di funzioni: definizione, convergenza puntuale, convergenza uniforme, esempi della serie trigonometrica, della serie di Taylor e applicazioni. 

• Calcolo integrale: introduzione alle formule di quadratura semplici e composite per l'approssimazione degli integrali in una e due dimensioni.

• Equazioni differenziali ordinarie: equazioni differenziali del primo ordine, esercizi sul problema di Cauchy, sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esempi con applicazioni alle reazioni chimiche con comandi ode45, ode15, ode15s.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli Ed., 2008.