MATEMATICA II

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, gli integrali per funzioni di una e di più variabili reali, le equazioni differenziali ed il calcolo differenziale per funzioni reali di due variabili reali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements):

lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le proprie capacità logiche. Il numero delle dimostrazioni obbligatorie sarà relativamente ridotto ma si darà estrema importanza alla comprensione delle definizioni e dei concetti e alla capacità di illustrarli con esempi.

Abilità comunicative (communication skills):

studiando l'Analisi Matematica, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza argomenti di natura scientifica, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills):

gli studenti più interessati alla disciplina, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Lezioni frontali corredate da esercitazioni

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Calcolo integrale per funzioni di una sola variabile

Integrale indefinito e sue proprietà - Metodi di integrazione: integrazione per decomposizione e somma, integrazione di funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione – Definizione di integrale secondo Riemann e sue proprietà – Alcune classi di funzioni integrabili - Integrali definiti - Cenni di teoria della misura di Peano-Jordan - Significato geometrico dell’integrale di Riemann – Teorema fondamentale del calcolo integrale – Cenni sugli integrali generalizzati e impropri e loro proprietà.

Calcolo differenziale per funzioni di due o più variabili

Richiami di topologia nel piano: punti interni, punti esterni e punti di frontiera, insiemi aperti e insiemi chiusi, punti di accumulazione e punti isolati, insiemi limitati, insiemi compatti, insiemi convessi, insiemi connessi per archi, dominio - Funzioni di più variabili: limiti e continuità Teorema di Weierstrass- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivata parziale e direzionale – Differenziale e funzioni differenziabili – Derivate di ordine superiore e lemma di Schwarz – Operatori differenziali: gradiente, divergenza, rotore, laplaciano – Teorema di derivazione delle funzioni composte -Teorema di Lagrange in R^2 e caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in una regione – Estremi liberi di una funzione di due variabili e teoremi relativi - Ricerca degli estremi assoluti su un insieme compatto

Calcolo integrale per funzioni di due o più variabili

Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi e tripli secondo Riemann – Cambiamento di variabili – Formule di riduzione: Teorema di Fubini – Integrali dipendenti da un parametro: regola di Leibinz.

Equazioni differenziali ordinarie

Generalità sulle equazioni differenziali – Il problema di Cauchy – Equazioni differenziali del primo ordine – Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili – Teorema di Cauchy sull’esistenza ed unicità della soluzione – Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti – Applicazioni nei modelli matematici.

Cenni sulla geometria delle curve e sulle forme differenziali lineari

Curve regolari e generalmente regolari - Curve rettificabili e loro lunghezza - Ascissa curvilinea - Integrale curvilineo di una funzione - Forme differenziali lineari - Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare - Forme differenziali esatte e chiuse - Fattore integrante - Applicazioni.

1. P. Marcellini, C. Sbordone Analisi Matematica uno, Liguori
2. C. D. Pagani, S. Salsa Analisi Matematica 1, Zanichelli
3.  N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone Analisi Matematica due, Liguori
4. C. D. Pagani, S. Salsa Analisi Matematica 2, Zanichelli
5. P. Marcellini, C. Sbordone Esercizi di Analisi Matematica due volumi 1 e 2, Liguori
6. T. Caponnetto, C Catania Esercizi di Analisi Matematica 1 volume 2, CULC

N.B.: La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere

Saper enunciare e, se fatta a lezione, dimostrare teoremi: teorema di Schwarz, teorema di Cauchy per le equazioni differenziali.